Processus ponctuel
Famille de variables aléatoires \((N_t)_{t\geqslant0}\) définies par : $$N_t=\sum_{n\geqslant1}\Bbb 1_{T_n\leqslant t}\quad\text{ avec }\quad 0\lt T_1\lt \dots\lt T_n\lt \dots\text{ aléatoires}$$
- plusieurs extensions :
- aux ensembles mesurables \(C\) : \(N(C):=\) \(\sum_{n\gt 0}\Bbb 1_{T_n\in C}\)
- généralisation à \({\Bbb R}^d\) : \(\{T_i\}_{i\geqslant1}\) est un ensemble fini ou dénombrable de points distincts
- aux fonctions \(f:{\Bbb R}_+\to{\Bbb R}_+\) : \(N(f):=\) \(\sum_{n\gt 0}f(T_n)\)
- on peut alors définir sa Transformée de Laplace : $$\mathcal L_N(f):={\Bbb E}[e^{-N(f)}]={\Bbb E}[e^{-\sum_{n\gt 0}f(T_n)}]$$
- cette transformée caractérise la Loi de \(N\) si on a l'expression pour suffisamment de fonctions \(f\) (constantes par morceaux à support compact, \(\mathcal C_c^0\), \(\mathcal C^0\), ...)
